求limn趋于无穷根号下1+2+.+n减去根号下1+2+...+（n-1）可是为什么答案是2分之根号2呃

Question

求limn趋于无穷【根号下1+2+.+n减去 根号下1+2+...+（n-1）
可是为什么答案是2分之根号2 呃

Answer 1

lim (n->∞) [√(1+2+...+n) - √(1+2+...+n-1)]
= lim (n->∞) {√[n(n+1)/2] - √[n(n-1)/2]} (等差数列求和)
= lim (n->∞) {[√(n/2)]*[√(n+1) - √(n-1)]} (抽公因√(n/2))
= lim (n->∞) {[√(n/2)]*[2/[√(n+1) + √(n-1)]]} (上下分子分母同乘√(n+1) + √(n-1))
= lim (n->∞) {√2/[√(1+1/n) + √(1-1/n)]}
= √2/[√(1+0) + √(1-0)]
= √2/2