计算∬D（x2+3x+y2+9）dσ，其中D是闭区域：x2+y2≤R2．

Question

计算

∬

D

（x²+3x+y²+9）dσ，其中D是闭区域：x²+y²≤R²．

Answer 1

由于D={（x，y）|x²+y²≤R^2}={（r，θ）|0≤θ≤2π，0≤r≤R} 
原式=

∫∫

D

(x2+y2)dxdy+

∫∫

D

9dxdy+3

∫∫

D

xdxdy
利用对称性，

∫∫

D

xdxdy＝0
利用二重积分的几何意义，

∫∫

D

9dxdy＝9πR2
∴原式=

∫

2π 0

dθ

∫

R 0

r3dr+9πR2＝(π)/(2)R4+9πR2．