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如图1,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE.(1)求证:S△ABD=S△ACE;(2)如图2,AM是△ACE的中线,MA的延长线交BD于N,求证:MN⊥BD.
题目详情
如图1,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/7e3e6709c93d70cfead174bffbdcd100baa12b5d.jpg)
(1)求证:S△ABD=S△ACE;
(2)如图2,AM是△ACE的中线,MA的延长线交BD于N,求证:MN⊥BD.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/7e3e6709c93d70cfead174bffbdcd100baa12b5d.jpg)
(1)求证:S△ABD=S△ACE;
(2)如图2,AM是△ACE的中线,MA的延长线交BD于N,求证:MN⊥BD.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)过B作BM⊥DA于M,过C作CN⊥EA交EA的延长线于N,如图,
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAD+∠CAE=180°,
∵∠CAN+∠CAE=180°,
∴∠BAD=∠CAN
∵sin∠BAD=
,sin∠CAN=
,
又∵AB=AC,
∴BM=CN,
∵DA=AE,
S△ABD=
DN×BM,S△ACE=
AE×CN,
∴S△ADB=S△ACE.
(2)延长AM到Q使AM=QM,连接CQ、EQ,如图,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/86d6277f9e2f070803e0f5b2ea24b899a801f29f.jpg)
∵AM是△ACE中线,
∴CM=EM,
∴四边形ACQE是平行四边形,
∴AC=EQ=AB,AE=CQ=AD,AC∥EQ,
∴∠CAE+∠AEQ=180°,
∵∠BAD+∠CAE=180°,
∴∠BAD=∠AEQ,
∵在△BAD和△QEA中
∴△BAD≌△QEA,
∴∠BDA=∠EAM,
∵∠DAE=90°,
∴∠NAD+∠QAE=90°,
∴∠BDA+∠NAD=90°,
∴∠DNA=180°-90°=90°,
∴MN⊥BD.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8694a4c27d1ed21bebe2f057ae6eddc451da3f5d.jpg)
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAD+∠CAE=180°,
∵∠CAN+∠CAE=180°,
∴∠BAD=∠CAN
∵sin∠BAD=
BM |
AB |
CN |
AC |
又∵AB=AC,
∴BM=CN,
∵DA=AE,
S△ABD=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴S△ADB=S△ACE.
(2)延长AM到Q使AM=QM,连接CQ、EQ,如图,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/86d6277f9e2f070803e0f5b2ea24b899a801f29f.jpg)
∵AM是△ACE中线,
∴CM=EM,
∴四边形ACQE是平行四边形,
∴AC=EQ=AB,AE=CQ=AD,AC∥EQ,
∴∠CAE+∠AEQ=180°,
∵∠BAD+∠CAE=180°,
∴∠BAD=∠AEQ,
∵在△BAD和△QEA中
|
∴△BAD≌△QEA,
∴∠BDA=∠EAM,
∵∠DAE=90°,
∴∠NAD+∠QAE=90°,
∴∠BDA+∠NAD=90°,
∴∠DNA=180°-90°=90°,
∴MN⊥BD.
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