设X1，X2，…，Xn为来自正态总体N（μ0，δ2）的简单随机样本，其中μ0已知，δ2＞0未知，.X和S2分别表示样本均值和样本方差（Ⅰ）求参数δ2的极大似然估计δ2；（Ⅱ）计算E（δ2）和D（δ2）

Question

设X₁，X₂，…，X_n为来自正态总体N（μ₀，δ²）的简单随机样本，其中μ₀已知，δ²＞0未知，

.

X

和S²分别表示样本均值和样本方差
（Ⅰ）求参数δ²的极大似然估计

δ

2；
（Ⅱ）计算E（

δ

2）和D（

δ

2）．

Answer 1

（I）
似然函数为：
L＝f(x1)f(x2)…f(xn)＝(1)/((√(2π))nδn)e(ni＝1(xi−μ0)2)/(2δ2)，
两边取对数可得：
lnL＝−nln√(2π)−(n)/(2)lnδ2−(ni＝1(xi−μ0)2)/(2δ2)，
从而：(dlnL)/(dδ2)＝−(n)/(2δ2)+(ni＝1(xi−μ0)2)/(2(δ2)2)，
令：(dlnL)/(dδ2)＝0，
解得：δ2＝(ni＝1(xi−μ0)2)/(n)，
从而参数δ²的极大似然估计：

̂

δ