如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AD,点F是棱PD的中点,点E为CD中点.2.求证PE⊥AF3.求二面角A-PC-D的大小

Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AD,点F是棱PD的中点,点E为CD中点.
2.求证PE⊥AF
3.求二面角A-PC-D的大小

Answer 1

分别以AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设B(1,0,0),则D(0,1,0),C(1,1,0),P(0,0,1),
PD的中点F为(0,1/2,1/2),CD的中点E为(1/2,1,0).
2.向量PE=(1/2,1,-1),AF=(0,1/2,1/2),
∴向量PE*AF=0,
∴PE⊥AF.
3.易知BD=(-1,1,0)是平面APC的法向量,
设平面PCD的法向量m=(n,p,1),向量PC=(1,1,-1),CD=(-1,0,0),
m*PC=n+p-1=0,m*CD=-n=0,
解得n=0,p=1,∴m=(0,1,1),|BD|=|m|=√2,m*BD=1,
∴cos=1/2,
∴二面角A-PC-D为60°.