设定积分f′(㏑t)dt上限x下限0等于㏑(1+x)且f(0)=0,求f(x)

Question

设定积分f′(㏑t)dt上限x下限0等于㏑(1+x)且f(0)=0,求f(x)

Answer 1

两边同时对x求导得,
f'（lnx）＝1/（1＋x）
令t＝lnx,则x＝e∧t
∴f'（t）＝1/（1＋e∧t）
两边积分,即
∫f'（t）＝∫dt/（1＋e∧t）
∴f（t）＝∫d（e∧t）/［e∧t＊（1＋e∧t）］＝∫d（e∧t）/（e∧t）－∫d（e∧t）/（1＋e∧t）＝t－ln（1＋e∧t）＋C
又因为f（0）＝0,带入上式得C＝ln2
∴f（x）＝x－ln（1＋e∧x）＋ln2.
希望我帮到了你!