设二维离散型随机变量X、Y的概率分布为YX0120140141013021120112（Ⅰ）求P={X=2Y}；（Ⅱ）求Cov=（X-Y，Y）．

Question

设二维离散型随机变量X、Y的概率分布为

Y X	0	1	2
0	(1)/(4)	0	(1)/(4)
1	0	(1)/(3)	0
2	(1)/(12)	0	(1)/(12)

（Ⅰ）求P={X=2Y}；
（Ⅱ）求Cov=（X-Y，Y）．

Answer 1

（I）
因为：
P{XY=1}=P{X=1，Y=1}=(1)/(3)，P{XY=2}=P{X=1，Y=2}+P{X=2，Y=1}=0，P{XY=4}=P{X=2，Y=2}=(1)/(12)，
所以：
P{X=2，Y=1}=P{X=1，Y=2}=0，
P{X=0，Y=1}=P{Y=1}-P{X=1，Y=1}-P{X=2，Y=1}=0，
P{X=0，Y=2}=P{Y=2}-P{X=1，Y=2}-P{X=2，Y=2}=(1)/(4)，
P{X=0，Y=0}=P{X=0}-P{X=0，Y=1}-P{X=0，Y=2}=(1)/(4)，
故有：P{X=2Y}=P{X=0，Y=0}+P{X=1，Y=2}=(1)/(4)．

（Ⅱ）
由已知条件：
E（X）=(2)/(3)，E（Y）=1，E（XY）=(2)/(3)，E（Y²）=(5)/(3)，
所以：
Cov（X-Y，Y）=Cov（X，Y）-Cov（Y，Y）
=[E（XY）-E（X）E（Y）]-[E（Y²）-（E（Y））²]
=（(2)/(3)-(2)/(3)）-（(5)/(3)-1）
=-(2)/(3)．