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定义F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞),令函数f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))的图象为曲线C,曲线C与y轴交于点A(0,m),过坐标原点O向曲线C作切线,切点为B(n,t)(n>0),设曲线C在
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定义F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞),令函数f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))的图象为曲线C,曲线C与y轴交于点A(0,m),过坐标原点O向曲线C作切线,切点为B(n,t)(n>0),设曲线C在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S,求S的值.
▼优质解答
答案和解析
∵F(x,y)=(1+x)y
∴f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))=2log2(x2-4x+9)=x2-4x+9,
故A(0,9),
又过坐标原点O向曲线C作切线,
切点为B(n,t)(n>0),f′(x)=2x-4.
∴
,
解得B(3,6),
∴S=
(x2−4x+9−2x)dx=(
−3x29x)
=9.
∴f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))=2log2(x2-4x+9)=x2-4x+9,
故A(0,9),
又过坐标原点O向曲线C作切线,
切点为B(n,t)(n>0),f′(x)=2x-4.
∴
|
解得B(3,6),
∴S=
∫ | 3 0 |
x3 |
3 |
| | 3 0 |
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