已知点A（-1，2），B（0，1），动点P满足|PA|＝2|PB|．（Ⅰ）若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；（Ⅱ）若点Q在直线l1：3x-4y+12=0上，直线l2经过点Q且与曲线C有且只有一个公共点M，求|QM|的

Question

已知点A（-1，2），B（0，1），动点P满足|PA|＝√(2)|PB|．
（Ⅰ）若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
（Ⅱ）若点Q在直线l₁：3x-4y+12=0上，直线l₂经过点Q且与曲线C有且只有一个公共点M，求|QM|的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）设P（x，y），则
∵点A（-1，2），B（0，1），动点P满足|PA|＝√(2)|PB|，
∴√((x+1)2+(y−2)2)＝√(2)•√(x2+(y−1)2)，
∴化简（x-1）²+y²=4；
（Ⅱ）由题意，|QM|最小时，|CQ|最小，当且仅当圆心C到直线的距离最小，此时d=(|3−0+12|)/(√(32+(−4)2))=3，
∴由勾股定理可得|QM|的最小值为√(32−4)=√(5)．