证明方程3x-2cosπx/2=0有且仅有一个实根

Question

证明方程3x-2 cosπx/2=0有且仅有一个实根

Answer 1

证明：
若方程存在实根,则
∵3x-2cos(πx/2)=0
∴3x=2cos(πx/2)
x=2cos(πx/2)/3
又-1≤cos(πx/2)≤1
∴-2/3≤2cos(πx/2)/3≤2/3
∴-2/3≤x≤2/3
∴-π/3≤πx/2≤π/3
令f(x)=3x-2cos(πx/2),则
f'(x)=3+πsin(πx/2)
当-π/3≤πx/2≤π/3,即-2/3≤x≤2/3时,sin(πx/2)单调递增
∴f'(x)单调递增
∴f'(x)≥f'(-2/3)=3+πsin(-π/3)=3-√3π/2>0
∴f(x)在[-2/3,2/3]上单调递增
又f(-2/3)=-2-2cos(-π/3)=-30
∴存在且仅存在一点x∈[-2/3,2/3],使f(x)=0
即方程3x-2cos(πx/2)=0有且仅有一个实根