高数证明有无实根问题!（43页16题,不要看这个这是我怕忘给自己看的,）（1）证明方程1-x+x²/2+x³=0,只有一个实根（2）证明方程1-x+x²/2-x³/3+x的四次方/4无实根求求啦,555555555555555

Question

高数证明有无实根问题!（43页16题,不要看这个这是我怕忘给自己看的,）
（1）证明方程1-x+x²/2+x³=0,只有一个实根
（2）证明方程1-x+x²/2-x³/3+x的四次方/4无实根
求求啦,555555555555555

Answer 1

(1)令f(x)=1+x+(x^2/2)+(x^3)
显然f(-2)<0,f(-1)>0
根据零点定理,得
f(x)在(-2,-1)内至少有一实根
假定f(x)在(-2,-1)内有两个实根
设x1,x2为两实根
根据罗尔定理有
至少存在一点ξ∈(x1,x2)使得
f'(ξ)=0,即3ξ^2+(ξ/2)-1=0
解方程可知其两根均不在(-2,-1)内,这与罗尔定理结论矛盾.假设不成立.
假设f(x)在(-2,-1)在有三根和上面一样做,结果假设也是不成立这里省略了.
又因为f(x)=0是一个一元三次方程,即其最多只能有三根
所以,综上可得,方程在(-2,-1)内有且仅有一实根.
至于(-∞,-2]和[-1,+∞)方法就是求最值,和下面一样
结论就是题目要证明的.
(2)令g(x)=1-x+(x^2/2)-(x^3/3)+(x^4/4)
g'(x)=x^3-x^2+x-1
令g'(x)=0得驻点x=1
g''(x)=3x^2-2x+1
g''(1)>0,即x=1为g(x)极小值点,也是最小值点
即g(x)≥g(1)=5/12>0
所以方程没有实数根