设k>0，试问k为何值时，方程arctanx-kx=0存在正实根．

Question

设k>0，试问k为何值时，方程arctanx-kx=0存在正实根．

Answer 1

令f（x）=arctanx-kx，x∈[0，+∞），
则有f(0)=0，f′(x)=(1)/(1+x2)-k，f′(0)=1-k．
因为f′（x）在[0，+∞）上严格单调递减，
且有

lim

x→+∞

=f(x)=-∞，

lim

x→+∞

=f′(x)=-k，
（1）当k≥1时，f′(x)=(1)/(1+x2)-k<0，∀x≥0，
此时解得x2>(1-k)/(k)显然成立，
故当k≥1时，f（x）在[0，+∞）上严格单调递减．
而f（0）=0，所以方程arctanx-kx=0在k≥1时不存在正实根．
（2）当0令f′（x）<0解得x>√((1-k)/(k))，
即f（x）在(√((1-k)/(k))，+∞)上单调递减，在(0，√((1-k)/(k))]上单调递增．
又f(√((1-k)/(k)))>f(0)=0，

lim

x→+∞

=f(x)=-∞，
由连续函数的零点存在定理知，
方程f（x）=0在(√((1-k)/(k))，+∞)内有唯一的正实根．
所以，0

作业帮用户 2017-02-10