已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1、x2，一元二次方程x2+b2x+20=0的两实根为x3、x4，且x2-x3=x1-x4=3，求二次函数的解析式，并写出顶点坐标．

Question

已知二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x₁、x₂，一元二次方程x²+b²x+20=0的两实根为x₃、x₄，且x₂-x₃=x₁-x₄=3，求二次函数的解析式，并写出顶点坐标．

Answer 1

∵x₂-x₃=x₁-x₄=3
∴x₂-x₃=3，x₁-x₄=3
∴x₂-x₃+x₁-x₄=6即（x₁+x₂）-（x₃+x₄）=6
∴（x₁+x₂）-（x₃+x₄）=-b+b²=6，即b²-b-6=0，解得：b=-2或3
∵x₂-x₃=x₁-x₄
∴|x₁-x₂|=|x₃-x₄|
即√((x1+x2)2−4x1x2)=√((x3+x4)2−4x3x4)
∴9-4c=81-4×20，
解得：c=2
又∵一元二次方程x²+b²x+20=0有两实根
∴△=b⁴-80≥0，
当b=-2，c=2时，有y=x²-2x+2，
△=4-4×1×2=-4＜0，
与x轴无交点，
∴b=-2不合题意舍去
则解析式为y=x²+3x+2，
根据顶点坐标公式可得顶点坐标：(−(3)/(2)，−(1)/(4))．