（理科做）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，BC∥AD，且AB=AD=2BC，顶点P在底面ABCD内的射影恰好落在AB的中点O上．（1）求证：PD⊥AC；（2）若PO=AB，求直线PD与AB所成角的余弦

Question

（理科做）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，BC∥AD，且AB=AD=2BC，顶点P在底面ABCD内的射影恰好落在AB的中点O上．
（1）求证：PD⊥AC；
（2）若PO=AB，求直线PD与AB所成角的余弦值；
（3）若平面APB与平面PCD所成的二面角为45°，求(PO)/(BC)的值．

Answer 1

（1）证明：因为AB中点O为点P在平面ABCD内的射影，所以PO⊥平面ABCD．
过O作BC的平行线交CD与点E，则OE⊥AB．
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz…（2分）
设BC=a，OP=h，则B（a，0，0），A（-a，0，0），P（0，0，h），C（a，a，0），D（-a，2a，0）．
∴

AC

＝(2a，a，0)，

PD

＝(−a，2a，−h)．
∵

AC

•

PD

＝−2a2+2a2＝0，
∴PD⊥AC．…（6分）
（2）由PO=AB，得h=2a，于是P（0，0，2a）
∵

AB

＝(2a，0，0)，

PD

＝(−a，2a，−2a)，…（8分）
∴cos＜

AB

，

PD

＞=

作业帮用户 2017-10-02

问题解析

（1）过O作BC的平行线交CD与点E，则OE⊥AB，建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，证明其数量积为0，即可证明PD⊥AC；
（2）求出向量的坐标，利用向量的夹角公式，即可求直线PD与AB所成角的余弦值；
（3）求出平面APB与平面PCD的法向量，根据平面APB与平面PCD所成的二面角为45°，利用向量的夹角公式，即可求(PO)/(BC)的值．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评：

本题考查线线垂直，考查线线角，面面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，正确求出向量的坐标是关键．

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