如图，已知B（0，-4），点P为第二象限角平分线上一动点，将射线BP绕B点逆时针旋转30゜交x轴于点Q，连PQ，在点P运动过程中，当∠BPQ=45゜时，求BQ的长．

Question

如图，已知B（0，-4），点P为第二象限角平分线上一动点，将射线BP绕B点逆时针旋转30゜交x轴于点Q，连PQ，在点P运动过程中，当∠BPQ=45゜时，求BQ的长．

Answer 1

设OP的方程：y=-x （x＜0），
P（-p，p），p＞0，
Q（-q，0），q＞0，
PQ²=（p-q）²+p²，PB²=p²+（p+4）²，BQ²=q²+4²，
∠PBQ=30˚，∠BPQ=45˚，∠PQB=180˚-（30˚+45˚），
sin∠PBQ=(1)/(2)，
sin∠BPQ=(√(2))/(2)，
sin∠PQB=sin[180˚-（30˚+45˚）]=sin（30˚+45˚）=sin30˚cos45˚+cos30˚sin45˚=(√(2))/(4)（√(3)+1），
由正弦定理：(PQ2)/(sin2∠PBQ)=(BQ2)/(sin2∠BPQ)=(BP2)/(sin2∠PQB)，
从(PQ2)/(sin2∠PBQ)=(BQ2)/(sin2∠BPQ)可得q=2p±4，
从(PQ2)/(sin2∠PBQ)=(BP2)/(sin2∠PQB)，
可得（2+

作业帮用户 2016-12-15

问题解析

利用直角坐标系中的角平分线的性质设OP的方程：y=-x，利用设出P、Q两点的坐标，利用三角函数建立方程，解决问题．

名师点评

本题考点：

全等三角形的判定与性质；坐标与图形变化-旋转．

考点点评：

此题考查直线y=-x的性质，勾股定理，三角函数等知识点，并且渗透分类讨论思想．

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