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设f(x)在[0,π]上可导,证明在(0,π)内至少存在一点ξ,使得…设f(x)在[0,π]上可导,证明在(0,π)内至少存在一点ξ,使得f'(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0.
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设f(x)在[0,π]上可导,证明在(0,π)内至少存在一点ξ,使得…
设f(x)在[0,π]上可导,证明在(0,π)内至少存在一点ξ,使得f'(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0.
设f(x)在[0,π]上可导,证明在(0,π)内至少存在一点ξ,使得f'(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0.
▼优质解答
答案和解析
令：F(x)=f(x)*sinx
又有：f(x)在[0,π]上可导,即F(x)在[0,π]连续
那么：F(x)在[0,π]上连续
F(x)在[0,π]上可导
F(0)=F(π)=0
故根据Rolle中值定理：存在一点ξ在(0,π)内,使得F'(ξ)=0
即有：f'(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0
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又有：f(x)在[0,π]上可导,即F(x)在[0,π]连续
那么：F(x)在[0,π]上连续
F(x)在[0,π]上可导
F(0)=F(π)=0
故根据Rolle中值定理：存在一点ξ在(0,π)内,使得F'(ξ)=0
即有：f'(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0
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