请教一下二元函数极值确定方法的原理书上说的方法是对二元函数F（x、y）分别求偏导，然后以Fxx*Fyy和Fxy*Fyx的相对数值大小作为判断依据，请问这样做的依据是什么？谢谢。补充：能否说

Question

请教一下二元函数极值确定方法的原理
书上说的方法是对二元函数F（x、y）分别求偏导，然后以Fxx*Fyy和Fxy*Fyx的相对数值大小作为判断依据，请问这样做的依据是什么？谢谢。
补充：能否说明“Fxx*Fyy>Fxy*Fyx”这一条件是如何推出“有极值”的？谢谢

Answer 1

二元极值确定分两步：
1.F（x、y）分别对x,y求偏导，目的是联立偏导方程，找出驻点。
2.Fxx*Fyy和Fxy*Fyx的相对数值大小作为判断依据，目的就是，判断第一步中驻点是否为极值点。
二元（或都多元）极值的求法思想与一元完全类似，试回忆一元函数求极值：
1.f'(x)=0,找出驻点。
2.f''(x)判断，驻点是否为极值。
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设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 , 又
f x ( x 0 , y 0 ) = 0 ,
f y ( x 0 , y 0 ) = 0 ,
令
f xx ( x 0 , y 0 ) = A ,
f xy ( x 0 , y 0 ) = B ,
f yy ( x 0 , y 0 ) = C ,
则 f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处是否取得极值的条件如下：
(1) AC - B^2 >0 时具有极值 , 且当 A 0 时有极小值 ;
(2) AC - B^2 0 , 则函数具有极值 , 且
当 f xx 0 时有极小值。