数学，设f(x)在[1,3]连续,在(1,3)可导，且f（3）=0，证明至少存一点a∈（1,3），使af'（a）lna+f（a）=0设f(x)在[1,3]上连续,在(1,3)内可导，且f（3）=0，证明至少存在一点a∈（1,3），使af'（a）lna+f（

Question

数学，设f(x)在[1,3]连续,在(1,3)可导，且f（3）=0，证明至少存一点a∈（1,3），使af'（a）lna+f（a）=0
设f(x)在[1,3]上连续,在(1,3)内可导，且f（3）=0，证明至少存在一点a∈（1,3），使af'（a）lna+f（a）=0

Answer 1

您好，很高兴为您解答。
证明：令g(x)=f(x)lnx，由于lnx在(1,3)内连续且可微，所以g(x)=f(x)lnx在(1,3)内连续且可微，g(1)=f(1)ln1=0,g(3)=f(3)ln3=0，根据中值定理，存在a∈(1,3)使得g'(a)=0，
因此存在a∈(1,3)使得g'(a)=f'(a)lna+f(a)/a=0，两边同乘a得证。