求广义积分值积分区间[1,+∞),∫sin(x^2)dx,如何判断是收敛的,收敛的积分值怎么求啊

Question

求广义积分值
积分区间[1,+∞),∫sin(x^2)dx,如何判断是收敛的,收敛的积分值怎么求啊

Answer 1

变量替换,令x^2=t,x=t^(1/2),dx=0.5dt/t^(1/2)
原积分
=0.5积分(从1到无穷)sint dt/t^(1/2),
注意到sint的部分积分有界,t^(1/2)是递减趋于0的函数,当t趋于正无穷时,
因此由Dirichlet判别法知道广义积分收敛.
但积分值无法精确计算.
如果是从0到无穷,就是fresnel积分,
积分值是0.5根号(pi/2).