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已知数列{an},an=pn+λqn(p>0,q>0,p≠q,λ∈R,λ≠0,n∈N*).(1)求证:数列{an+1-pan}为等比数列;(2)数列{an}中,是否存在连续的三项,这三项构成等比数列?试说明理由;(3)设A={
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已知数列{an},an=pn+λqn(p>0,q>0,p≠q,λ∈R,λ≠0,n∈N*).
(1)求证:数列{an+1-pan}为等比数列;
(2)数列{an}中,是否存在连续的三项,这三项构成等比数列?试说明理由;
(3)设A={(n,bn)|bn=3n+kn,n∈N*},其中k为常数,且k∈N*,B={(n,cn)|cn=5n,n∈N*},求A∩B.
(1)求证:数列{an+1-pan}为等比数列;
(2)数列{an}中,是否存在连续的三项,这三项构成等比数列?试说明理由;
(3)设A={(n,bn)|bn=3n+kn,n∈N*},其中k为常数,且k∈N*,B={(n,cn)|cn=5n,n∈N*},求A∩B.
▼优质解答
答案和解析
(1)根据an=pn+λqn可得an+1-pan的表达式,整理可得为常数,进而可判断数列{an+1-pan}为等比数列.
(2)取数列{an}的连续三项an,an+1,an+2把an=pn+λqn代入an+12-anan+2整理可知结果不为0,进而可判断an+12≠anan+2,即数列{an}中不存在连续三项构成等比数列;
(3)由3n+2n=5n整理得,设则可知f(x)为减函数,故可判定f(x)=1的解只有一个,从而当且仅当n=1,3n+2n=5n成立,同样的道理可证当k=1,k=3或k≥5时,B∩C=∅;当k=2时,B∩C={(1,5)},当k=4时,B∩C={(2,25)}.
【解析】
(1)∵an=pn+λqn,
∴an+1-pan=pn+1+λqn+1-p(pn+λqn)=λqn(q-p),
∵λ≠0,q>0,p≠q
∴为常数
∴数列{an+1-pan}为等比数列
(2)取数列{an}的连续三项an,an+1,an+2(n≥1,n∈N*),
∵an+12-anan+2=(pn+1+λqn+1)2-(pn+λqn)(pn+2+λqn+2)=-λpnqn(p-q)2,
∵p>0,q>0,p≠q,λ≠0,
∴-λpnqn(p-q)2≠0,即an+12≠anan+2,
∴数列{an}中不存在连续三项构成等比数列;
(3)当k=1时,3n+kn=3n+1<5n,此时B∩C=∅;
当k=3时,3n+kn=3n+3n=2•3n为偶数;而5n为奇数,此时B∩C=∅;
当k≥5时,3n+kn>5n,此时B∩C=∅;
当k=2时,3n+2n=5n,发现n=1符合要求,
下面证明唯一性(即只有n=1符合要求).
由3n+2n=5n得,
设,则是R上的减函数,
∴f(x)=1的解只有一个
从而当且仅当n=1时,
即3n+2n=5n,此时B∩C={(1,5)};
当k=4时,3n+4n=5n,发现n=2符合要求,
下面同理可证明唯一性(即只有n=2符合要求).
从而当且仅当n=2时,
即3n+4n=5n,此时B∩C={(2,25)};
综上,当k=1,k=3或k≥5时,B∩C=∅;
当k=2时,B∩C={(1,5)},
当k=4时,B∩C={(2,25)}.
(2)取数列{an}的连续三项an,an+1,an+2把an=pn+λqn代入an+12-anan+2整理可知结果不为0,进而可判断an+12≠anan+2,即数列{an}中不存在连续三项构成等比数列;
(3)由3n+2n=5n整理得,设则可知f(x)为减函数,故可判定f(x)=1的解只有一个,从而当且仅当n=1,3n+2n=5n成立,同样的道理可证当k=1,k=3或k≥5时,B∩C=∅;当k=2时,B∩C={(1,5)},当k=4时,B∩C={(2,25)}.
【解析】
(1)∵an=pn+λqn,
∴an+1-pan=pn+1+λqn+1-p(pn+λqn)=λqn(q-p),
∵λ≠0,q>0,p≠q
∴为常数
∴数列{an+1-pan}为等比数列
(2)取数列{an}的连续三项an,an+1,an+2(n≥1,n∈N*),
∵an+12-anan+2=(pn+1+λqn+1)2-(pn+λqn)(pn+2+λqn+2)=-λpnqn(p-q)2,
∵p>0,q>0,p≠q,λ≠0,
∴-λpnqn(p-q)2≠0,即an+12≠anan+2,
∴数列{an}中不存在连续三项构成等比数列;
(3)当k=1时,3n+kn=3n+1<5n,此时B∩C=∅;
当k=3时,3n+kn=3n+3n=2•3n为偶数;而5n为奇数,此时B∩C=∅;
当k≥5时,3n+kn>5n,此时B∩C=∅;
当k=2时,3n+2n=5n,发现n=1符合要求,
下面证明唯一性(即只有n=1符合要求).
由3n+2n=5n得,
设,则是R上的减函数,
∴f(x)=1的解只有一个
从而当且仅当n=1时,
即3n+2n=5n,此时B∩C={(1,5)};
当k=4时,3n+4n=5n,发现n=2符合要求,
下面同理可证明唯一性(即只有n=2符合要求).
从而当且仅当n=2时,
即3n+4n=5n,此时B∩C={(2,25)};
综上,当k=1,k=3或k≥5时,B∩C=∅;
当k=2时,B∩C={(1,5)},
当k=4时,B∩C={(2,25)}.
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