已知数列{An},{Cn}中,A1=0,An+1=1/(2-An),Cn=1/(An-1).(1)证明,{Cn}是等差数列并求出数列{An}的通项公式.(2)设数列{An}的前n项和为Sn,证明Sn

Question

已知数列{An},{Cn}中,A1=0,A n+1 = 1/(2-An),Cn=1/(An - 1).
(1)证明,{Cn}是等差数列并求出数列{An}的通项公式.
(2)设数列{An}的前n项和为Sn,证明 Sn

Answer 1

Cn=1/(An - 1)
则Cn-1=1/(An-1 - 1)
则Cn-Cn-1=1/(An - 1)-1/(An-1 - 1)
又A n+1 = 1/(2-An)
Cn-Cn-1=1/(1/(2-An-1) - 1)-1/(An-1 - 1)
=（2-An-1)/(An-1 - 1)-1/(An-1 - 1)
=(1-An-1)/(An-1 - 1)
=-1
所以,{Cn}是以1为公差的等差数列
而C1=1/(A1 - 1)=-1.
则Cn=-n,由Cn=1/(An - 1)
所以An=（n-1)/n
An=（n-1)/n
数列{An}的前n项和为Sn
Sn=0+1/2+2/3+...+（n-1)/n=1-1/2+1-1/3+1-1/4+...+1-1/n=n-（1+1/2+1/3+...1/n）
.
证明（1+1/2+1/3+...1/n）>ln(n+1)
使用数学归纳法：
n=1,1>ln2.成立,假设n=K时也成立,即
（1+1/2+1/3+...1/K）>ln(K+1)
则n=K+1时
（1+1/2+1/3+...1/K+1/K+1）>ln(K+1)+1/K+1=ln[(K+1)*e^(K+1)]
>ln[(K+1)(1+K)]>ln[(K+2)]
证毕