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求证：若a^2整除b^2,则a整除b
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求证：若a^2整除b^2,则a整除b
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答案和解析
设a,b的的所有素因子为P1,P2,...Pn （Pi为两两不等的素数）
设a=（P1^β1）（P2^β2）.（Pn^βn）
b=（P1^α1）（P2^α2）.（Pn^αn）
其中αi,βi为非负整数
则[P1^（2β1）][P2^(2β2）].[Pn^(2βn）]
整除[P1^（2α1）][P2^(2α2）].[Pn^(2αn）]
有Pi两两互素,所以 有 Pi^（2βi）整除Pi^（2αi）
所以2βi≤2αi βi≤αi
所以b=a[P1^（α1-β1）][P2^(α2-β2）].[Pn^(αn-βn）]
所以a整除b
设a=（P1^β1）（P2^β2）.（Pn^βn）
b=（P1^α1）（P2^α2）.（Pn^αn）
其中αi,βi为非负整数
则[P1^（2β1）][P2^(2β2）].[Pn^(2βn）]
整除[P1^（2α1）][P2^(2α2）].[Pn^(2αn）]
有Pi两两互素,所以 有 Pi^（2βi）整除Pi^（2αi）
所以2βi≤2αi βi≤αi
所以b=a[P1^（α1-β1）][P2^(α2-β2）].[Pn^(αn-βn）]
所以a整除b
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