若点P，Q分别是曲线y=x+4x与直线4x+y=0上的动点，则线段PQ长的最小值为．

Question

若点P，Q分别是曲线y= (x+4)/(x)与直线4x+y=0上的动点，则线段PQ长的最小值为___．

Answer 1

由y=(x+4)/(x)=1+(4)/(x)，得y′=-(4)/(x2)，
由-(4)/(x2)=-4，得x²=1，
∴x=±1．
当x=1时，y=5，则与4x+y=0且与曲线y=(x+4)/(x)相切的直线方程为y-5=-4（x-1），即4x+y-9=0．
此时两平行线间的距离为(|-9|)/(√(17))=(9√(17))/(17)；
当x=-1时，y=-3，则与4x+y=0且与曲线y=(x+4)/(x)相切的直线方程为y+3=-4（x+1），即4x+y+7=0．
此时两平行线间的距离为(|7|)/(√(17))=(7√(17))/(17)．
∴曲线y=(x+4)/(x)与直线4x+y=0上两动点PQ距离的最小值为(7√(17))/(17)．
故答案为：(7√(17))/(17)．