求证：若A、B均为n阶矩阵,AB=E则A、B互为逆矩阵因为AB=E所以|A|*|B|=1则,|A|=1/|B|=|B'|则A=B'（注：B'表示方阵B的逆矩阵）这样推出的结果：A=B'对吗?若正确,请给出详细理由.否则给出正确解答.

Question

求证：若A、B均为n阶矩阵,AB=E 则A、B互为逆矩阵
因为AB=E
所以|A|*|B|=1 则,|A|=1/|B|=|B'|
则A=B' （注：B'表示方阵B的逆矩阵）
这样推出的结果：A=B' 对吗?
若正确,请给出详细理由.否则给出正确解答.

Answer 1

这样证明是有问题的.因为|A| = |B'|并不能保证 A = B'
最简单的例子 A=[ 1 0; 0 1]; B' = [2 0; 0 1/2]；显然|A| = |B'| = 1,但是A ≠ B'
这题可以这样证明：
首先证明A、B均可逆.
AB = E,两边同时取行列式,|AB| = |E| = 1 = |A|*|B|,所以A、B的行列式均不为0,均可逆
假设B的逆矩阵为B',AB=E两边同时乘以B'
ABB' = EB' = B'.
因为BB' = E,所以ABB' = AE = A = B'.
所以A是B的逆矩阵
B是A的逆矩阵以此类推,你可以自己写一下.
希望可以帮到你!