如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，PA⊥面ABCD，E是AB的中点，F是PC的中点．（Ⅰ）求证：BF∥面PDE；（Ⅱ）求证：面PDE⊥面PAB．

Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，PA⊥面ABCD，E是AB的中点，F是PC的中点．

（Ⅰ）求证：BF∥面PDE；
（Ⅱ）求证：面PDE⊥面PAB．

Answer 1

证明：画出图象，如图示：
（Ⅰ）取PD的中点G，连结FG，GE，
∵F，G是中点，∴FG∥CD且FG=(1)/(2)CD，∴FG与BE平行且相等，
∴BF∥GE，
∵GE⊂面PDE
∴BF∥面PDE．
（Ⅱ）∵底面ABCD是菱形，∠BCD=60°
∴△ABD为正三角形E是AB的中点，DE⊥AB，
∵PA⊥面ABCD，DE⊂面ABCD
∴DE⊥AP，
∵AB∩AP=A
∴DE⊥面PAB
∵DE⊂面PDE
∴面PDE⊥面PAB．