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在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,又侧棱PA⊥底面ABCD.(1)当a为何值时,BD⊥平面PAC?试证明你的结论.(2)当a=4时,求证:BC边上存在一点M,使得PM⊥DM.(3)若在BC边上至少
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在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,又侧棱PA⊥底面ABCD.
(1)当a为何值时,BD⊥平面PAC?试证明你的结论.
(2)当a=4时,求证:BC边上存在一点M,使得PM⊥DM.
(3)若在BC边上至少存在一点M,使PM⊥DM,求a的取值范围.
(1)当a为何值时,BD⊥平面PAC?试证明你的结论.
(2)当a=4时,求证:BC边上存在一点M,使得PM⊥DM.
(3)若在BC边上至少存在一点M,使PM⊥DM,求a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)当a=2时,ABCD为正方形,则BD⊥AC.
又∵PA⊥底面ABCD,BD⊂平面ABCD,
∴BD⊥PA.∴BD⊥平面PAC.
故当a=2时,BD⊥平面PAC.
(2)证明:当a=4时,取BC边的中点M,AD边的中点N,连接AM、DM、MN.
∵ABMN和DCMN都是正方形,
∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°,即DM⊥AM.
又PA⊥底面ABCD,由三垂线定理得,PM⊥DM,故当a=4时,BC边的中点M使PM⊥DM.
(3)设M是BC边上符合题设的点M,
∵PA⊥底面ABCD,∴DM⊥AM.
因此,M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点,则AD≥2AB,即a≥4为所求.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/03087bf40ad162d9d47eabad12dfa9ec8b13cdeb.jpg)
又∵PA⊥底面ABCD,BD⊂平面ABCD,
∴BD⊥PA.∴BD⊥平面PAC.
故当a=2时,BD⊥平面PAC.
(2)证明:当a=4时,取BC边的中点M,AD边的中点N,连接AM、DM、MN.
∵ABMN和DCMN都是正方形,
∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°,即DM⊥AM.
又PA⊥底面ABCD,由三垂线定理得,PM⊥DM,故当a=4时,BC边的中点M使PM⊥DM.
(3)设M是BC边上符合题设的点M,
∵PA⊥底面ABCD,∴DM⊥AM.
因此,M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点,则AD≥2AB,即a≥4为所求.
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