如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC‖AD，CD=1，AD=22，∠BAD=∠CDA=45°（1）求异面直线CE与AF所成角的余弦值（2）证明：CD⊥平面ABF．

Question

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC‖AD，CD=1，AD=2√(2)，∠BAD=∠CDA=45°

（1）求异面直线CE与AF所成角的余弦值
（2）证明：CD⊥平面ABF．

Answer 1

（1）∵四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED．
∴∠CED为异面直线CE与AF所成的角．
∵FA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴FA⊥CD，可得ED⊥CD．
∵在Rt△CDE中，CD=1，ED=2√(2)，
∴CE=√(CD2+ED2)=3，可得cos∠CED=(ED)/(EC)=(2√(2))/(3)．
即异面直线CE和AF所成角的余弦值为(2√(2))/(3)；
（Ⅱ）过点B作BG∥CD，交AD于点G，
∵BG∥CD，∴∠BGA=∠CDA=45°．
∵∠BAD=∠CDA=45°，
∴∠BGA+∠BAG=90°，可得BG⊥AB，
∵BG∥CD，∴CD⊥AB，
又∵FA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴CD⊥FA，
∵FA、AB是平面ABF内的相交直线，
∴CD⊥平面ABF