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如图,在五面体ABCDEF中,四边形ADEF是正方形,FA⊥平面ABCD,BC‖AD,CD=1,AD=22,∠BAD=∠CDA=45°(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值(2)证明:CD⊥平面ABF.
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如图,在五面体ABCDEF中,四边形ADEF是正方形,FA⊥平面ABCD,BC‖AD,CD=1,AD=2
,∠BAD=∠CDA=45°
(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值
(2)证明:CD⊥平面ABF.
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(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值
(2)证明:CD⊥平面ABF.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵四边形ADEF是正方形,所以FA∥ED.
∴∠CED为异面直线CE与AF所成的角.
∵FA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴FA⊥CD,可得ED⊥CD.
∵在Rt△CDE中,CD=1,ED=2
,
∴CE=
=3,可得cos∠CED=
=
.
即异面直线CE和AF所成角的余弦值为
;
(Ⅱ)过点B作BG∥CD,交AD于点G,
∵BG∥CD,∴∠BGA=∠CDA=45°.
∵∠BAD=∠CDA=45°,
∴∠BGA+∠BAG=90°,可得BG⊥AB,
∵BG∥CD,∴CD⊥AB,
又∵FA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,
∴CD⊥FA,
∵FA、AB是平面ABF内的相交直线,
∴CD⊥平面ABF
∴∠CED为异面直线CE与AF所成的角.
∵FA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴FA⊥CD,可得ED⊥CD.
∵在Rt△CDE中,CD=1,ED=2
2 |
∴CE=
CD2+ED2 |
ED |
EC |
2
| ||
3 |
即异面直线CE和AF所成角的余弦值为
2
| ||
3 |
(Ⅱ)过点B作BG∥CD,交AD于点G,
∵BG∥CD,∴∠BGA=∠CDA=45°.
∵∠BAD=∠CDA=45°,
∴∠BGA+∠BAG=90°,可得BG⊥AB,
∵BG∥CD,∴CD⊥AB,
又∵FA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,
∴CD⊥FA,
∵FA、AB是平面ABF内的相交直线,
∴CD⊥平面ABF
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