已知如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2（1）求证：AB=BC；（2）过B作BF∥AC交CD的延长线于F，连EF，求证：AE=CF+EF．

Question

已知如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD²+CD²=2AB²
（1）求证：AB=BC；
（2）过B作BF∥AC交CD的延长线于F，连EF，求证：AE=CF+EF．²²²

Answer 1

（1）证明：∵CD⊥AD，
∴∠ADC=90°，
∴AD²2+CD²2=AC²2，
而AD²2+CD²2=2AB²2，
∴AC²2=2AB²2，
∵∠ABC=90°，
∴AB²2+BC²2=AC²2，
∴2AB²2=AB²2+BC²2，
∴AB=BC；

（2）证明：过B点作BH⊥AC于H，交AE于G点，如图，
∵AB=AC，∠ABC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠3=∠4=∠5=45°，
∵∠AGH+∠GAH=90°，∠2+∠3+∠CAD=90°，
∴∠AGH=∠2+∠3，
而∠AGH=∠1+∠4，
∴∠1=∠2；
∵BF∥AC，
∴∠6=∠3=45°，
∴∠4=∠6，
∵在△ABG和△CBF中，

∠1＝∠2

AB＝CB

∠4＝∠6

，
∴△ABG≌△CBF（ASA），
∴AG=CF，BG=BF，
∵在△BGE和△BFE中，

BG＝BF

∠5＝∠6

BE＝BE

，
∴△BGE≌△BFE（SAS），
∴GE=EF，
而AE=AG+GE，
∴AE=CF+EF．

∠1＝∠2

AB＝CB

∠4＝∠6

∠1＝∠2

AB＝CB

∠4＝∠6

∠1＝∠2

AB＝CB

∠4＝∠6

∠1＝∠2

AB＝CB

∠4＝∠6

∠1＝∠2∠1＝∠2∠1＝∠2AB＝CBAB＝CBAB＝CB∠4＝∠6∠4＝∠6∠4＝∠6，
∴△ABG≌△CBF（ASA），
∴AG=CF，BG=BF，
∵在△BGE和△BFE中，

BG＝BF

∠5＝∠6

BE＝BE

，
∴△BGE≌△BFE（SAS），
∴GE=EF，
而AE=AG+GE，
∴AE=CF+EF．

BG＝BF

∠5＝∠6

BE＝BE

BG＝BF

∠5＝∠6

BE＝BE

BG＝BF

∠5＝∠6

BE＝BE

BG＝BF

∠5＝∠6

BE＝BE

BG＝BFBG＝BFBG＝BF∠5＝∠6∠5＝∠6∠5＝∠6BE＝BEBE＝BEBE＝BE，
∴△BGE≌△BFE（SAS），
∴GE=EF，
而AE=AG+GE，
∴AE=CF+EF．