在四边形ABCD中，AB=2，BC=CD=4，AD=6，∠A+∠C=π．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．

Answer 1

（Ⅰ）如图，连接AC，
依题意可知：∠B+∠D=π，即∠D=π-∠B，
又AB=2，BC=CD=4，AD=6，
在△ABC中，由余弦定理得：AC²2=AB²2+BC²2-2AB•BC•cosB=2²2+4²2-2×2×4cosB=20-16cosB，
在△ACD中，由余弦定理得：AC²2=AD²2+DC²2-2AD•DC•cosD=6²2+4²2-2×6×4cosD=52-48cosD=52+48cosB，
由20-16cosB=52+48cosB，解得：cosB=-(1)/(2)，
从而AC²=20-16cosB=28，即AC=2√(7)；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sinB=sinD=(√(3))/(2)，
所以S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=(1)/(2)AB•BCsinB+(1)/(2)AD•CDsinD=2√(3)+6√(3)=8√(3)．…（12分） (1)/(2)111222，
从而AC²2=20-16cosB=28，即AC=2√(7)；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sinB=sinD=(√(3))/(2)，
所以S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=(1)/(2)AB•BCsinB+(1)/(2)AD•CDsinD=2√(3)+6√(3)=8√(3)．…（12分） √(7)

7

77；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sinB=sinD=(√(3))/(2)，
所以S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=(1)/(2)AB•BCsinB+(1)/(2)AD•CDsinD=2√(3)+6√(3)=8√(3)．…（12分） (√(3))/(2)√(3)√(3)√(3)

3

33222，
所以S_{四边形ABCD}四边形ABCD=S_△ABC△ABC+S_△ACD△ACD=(1)/(2)AB•BCsinB+(1)/(2)AD•CDsinD=2√(3)+6√(3)=8√(3)．…（12分） (1)/(2)111222AB•BCsinB+(1)/(2)AD•CDsinD=2√(3)+6√(3)=8√(3)．…（12分） (1)/(2)111222AD•CDsinD=2√(3)+6√(3)=8√(3)．…（12分） √(3)

3

33+6√(3)=8√(3)．…（12分） √(3)

3

33=8√(3)．…（12分） √(3)

3

33．…（12分）