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如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,AD=8cm,DC=8cm,AB=12cm.点P从点A出发,沿线段AD匀速运动,与此同时,点Q从点B出发,沿线段BA匀速运动,P、Q两点运动的速度均为1cm/s,当其中一点到达终点
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▼优质解答
答案和解析
(1)作CG⊥AB于G,如图1.
∴∠CGA=∠CGB=90°.
∵AD⊥AB,
∴∠DAB=90°.
∵AB∥CD,
∴∠DCG=∠CGB=90°,
∴四边形AGCD是矩形.
∵AD=8cm,DC=8cm,
∴AD=DC,
∴矩形AGCD是正方形.
∴AG=GC=CD=AD=8cm.
∵AB=12cm,
∴GB=4cm,
∴tan∠CBG=2.
∵QB=t,
∴MQ=2t.
∵△NQM是等腰直角三角形,
∴MQ=NQ=2t.
∵四边形ANEP是正方形,
∴PA=NA=t,
∴t+2t+t=12,
∴t=3;
(2)①当0<t≤3时,如图2,S=0;
②当3<t≤4时,如图3.
∵QB=t,
∴MQ=NQ=2t,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9358d109b3de9c825b4fd63d6f81800a19d8435d.jpg)
∴AN=AB-NQ-QB=12-3t.
∵PA=AF=t,
∴NF=AF-AN=t-(12-3t)=4t-12,
∴GF=NF=4t-12,
∴S=S△NFG△NFG=
•GF•NF=
(4t-12)2=8(t-3)2;
③当4<t≤6时,如图4.
∵QB=t,
∴AQ=AB-QB=12-t,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/838ba61ea8d3fd1fd7238d88334e251f95ca5f5d.jpg)
∴AN=NQ-AQ=8-(12-t)=t-4=AH,
∴PH=AP-AH=t-(t-4)=4,
∴S=S正方形APEF-S△PHG=t2-
×4×4=t2-8;
④当6<t≤8时,如图5.
∵QB=t,
∴AQ=AB-QB=12-t,
∴AN=NQ-AQ=8-(12-t)=t-4=AH,
∴PH=AP-AH=t-(t-4)=4=PG,
∴S=S矩形APKQ-S△PHG=t(12-t)-
×4×4=-t2+12t-8;
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b812c8fcc3cec3fd521488c7d588d43f8794275d.jpg)
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(3)当点M在线段CD上运动时,4≤t≤8,由t=4与t=8时的图形可知,
当4≤t≤8时△PGH扫过的平面部分为梯形ADRL,如图6.
∵RL=4(与t=4中图形的DP相等),AD=8,DR=4,
∴S梯形ADRL=
(RL+AD)•DR=
(4+8)×4=24.
故此时段△PGH扫过平面部分的面积为24.
1 1 12 2 2•GF•NF=
(4t-12)2=8(t-3)2;
③当4<t≤6时,如图4.
∵QB=t,
∴AQ=AB-QB=12-t,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/838ba61ea8d3fd1fd7238d88334e251f95ca5f5d.jpg)
∴AN=NQ-AQ=8-(12-t)=t-4=AH,
∴PH=AP-AH=t-(t-4)=4,
∴S=S正方形APEF-S△PHG=t2-
×4×4=t2-8;
④当6<t≤8时,如图5.
∵QB=t,
∴AQ=AB-QB=12-t,
∴AN=NQ-AQ=8-(12-t)=t-4=AH,
∴PH=AP-AH=t-(t-4)=4=PG,
∴S=S矩形APKQ-S△PHG=t(12-t)-
×4×4=-t2+12t-8;
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b812c8fcc3cec3fd521488c7d588d43f8794275d.jpg)
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(3)当点M在线段CD上运动时,4≤t≤8,由t=4与t=8时的图形可知,
当4≤t≤8时△PGH扫过的平面部分为梯形ADRL,如图6.
∵RL=4(与t=4中图形的DP相等),AD=8,DR=4,
∴S梯形ADRL=
(RL+AD)•DR=
(4+8)×4=24.
故此时段△PGH扫过平面部分的面积为24.
1 1 12 2 2(4t-12)22=8(t-3)22;
③当4<t≤6时,如图4.
∵QB=t,
∴AQ=AB-QB=12-t,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/838ba61ea8d3fd1fd7238d88334e251f95ca5f5d.jpg)
∴AN=NQ-AQ=8-(12-t)=t-4=AH,
∴PH=AP-AH=t-(t-4)=4,
∴S=S正方形APEF正方形APEF-S△PHG△PHG=t22-
×4×4=t2-8;
④当6<t≤8时,如图5.
∵QB=t,
∴AQ=AB-QB=12-t,
∴AN=NQ-AQ=8-(12-t)=t-4=AH,
∴PH=AP-AH=t-(t-4)=4=PG,
∴S=S矩形APKQ-S△PHG=t(12-t)-
×4×4=-t2+12t-8;
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b812c8fcc3cec3fd521488c7d588d43f8794275d.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a5c27d1ed21b0ef4acc2b7ecdec451da81cb3e5d.jpg)
(3)当点M在线段CD上运动时,4≤t≤8,由t=4与t=8时的图形可知,
当4≤t≤8时△PGH扫过的平面部分为梯形ADRL,如图6.
∵RL=4(与t=4中图形的DP相等),AD=8,DR=4,
∴S梯形ADRL=
(RL+AD)•DR=
(4+8)×4=24.
故此时段△PGH扫过平面部分的面积为24.
1 1 12 2 2×4×4=t22-8;
④当6<t≤8时,如图5.
∵QB=t,
∴AQ=AB-QB=12-t,
∴AN=NQ-AQ=8-(12-t)=t-4=AH,
∴PH=AP-AH=t-(t-4)=4=PG,
∴S=S矩形APKQ矩形APKQ-S△PHG△PHG=t(12-t)-
×4×4=-t2+12t-8;
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b812c8fcc3cec3fd521488c7d588d43f8794275d.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a5c27d1ed21b0ef4acc2b7ecdec451da81cb3e5d.jpg)
(3)当点M在线段CD上运动时,4≤t≤8,由t=4与t=8时的图形可知,
当4≤t≤8时△PGH扫过的平面部分为梯形ADRL,如图6.
∵RL=4(与t=4中图形的DP相等),AD=8,DR=4,
∴S梯形ADRL=
(RL+AD)•DR=
(4+8)×4=24.
故此时段△PGH扫过平面部分的面积为24.
1 1 12 2 2×4×4=-t22+12t-8;
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b812c8fcc3cec3fd521488c7d588d43f8794275d.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a5c27d1ed21b0ef4acc2b7ecdec451da81cb3e5d.jpg)
(3)当点M在线段CD上运动时,4≤t≤8,由t=4与t=8时的图形可知,
当4≤t≤8时△PGH扫过的平面部分为梯形ADRL,如图6.
∵RL=4(与t=4中图形的DP相等),AD=8,DR=4,
∴S梯形ADRL梯形ADRL=
(RL+AD)•DR=
(4+8)×4=24.
故此时段△PGH扫过平面部分的面积为24.
1 1 12 2 2(RL+AD)•DR=
(4+8)×4=24.
故此时段△PGH扫过平面部分的面积为24.
1 1 12 2 2(4+8)×4=24.
故此时段△PGH扫过平面部分的面积为24.
∴∠CGA=∠CGB=90°.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/37d12f2eb9389b5028f1cfe08635e5dde7116e71.jpg)
∴∠DAB=90°.
∵AB∥CD,
∴∠DCG=∠CGB=90°,
∴四边形AGCD是矩形.
∵AD=8cm,DC=8cm,
∴AD=DC,
∴矩形AGCD是正方形.
∴AG=GC=CD=AD=8cm.
∵AB=12cm,
∴GB=4cm,
∴tan∠CBG=2.
∵QB=t,
∴MQ=2t.
∵△NQM是等腰直角三角形,
∴MQ=NQ=2t.
∵四边形ANEP是正方形,
∴PA=NA=t,
∴t+2t+t=12,
∴t=3;
(2)①当0<t≤3时,如图2,S=0;
②当3<t≤4时,如图3.
∵QB=t,
∴MQ=NQ=2t,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9358d109b3de9c825b4fd63d6f81800a19d8435d.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/810a19d8bc3eb135a2ed9809a51ea8d3fd1f445d.jpg)
∵PA=AF=t,
∴NF=AF-AN=t-(12-3t)=4t-12,
∴GF=NF=4t-12,
∴S=S△NFG△NFG=
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③当4<t≤6时,如图4.
∵QB=t,
∴AQ=AB-QB=12-t,
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bd315c6034a85edf0d82d1914a540923dd547571.jpg)
∴PH=AP-AH=t-(t-4)=4,
∴S=S正方形APEF-S△PHG=t2-
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④当6<t≤8时,如图5.
∵QB=t,
∴AQ=AB-QB=12-t,
∴AN=NQ-AQ=8-(12-t)=t-4=AH,
∴PH=AP-AH=t-(t-4)=4=PG,
∴S=S矩形APKQ-S△PHG=t(12-t)-
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/dcc451da81cb39db0bea48e4d3160924ab18305d.jpg)
当4≤t≤8时△PGH扫过的平面部分为梯形ADRL,如图6.
∵RL=4(与t=4中图形的DP相等),AD=8,DR=4,
∴S梯形ADRL=
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故此时段△PGH扫过平面部分的面积为24.
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③当4<t≤6时,如图4.
∵QB=t,
∴AQ=AB-QB=12-t,
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∴PH=AP-AH=t-(t-4)=4,
∴S=S正方形APEF-S△PHG=t2-
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④当6<t≤8时,如图5.
∵QB=t,
∴AQ=AB-QB=12-t,
∴AN=NQ-AQ=8-(12-t)=t-4=AH,
∴PH=AP-AH=t-(t-4)=4=PG,
∴S=S矩形APKQ-S△PHG=t(12-t)-
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当4≤t≤8时△PGH扫过的平面部分为梯形ADRL,如图6.
∵RL=4(与t=4中图形的DP相等),AD=8,DR=4,
∴S梯形ADRL=
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故此时段△PGH扫过平面部分的面积为24.
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③当4<t≤6时,如图4.
∵QB=t,
∴AQ=AB-QB=12-t,
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∴PH=AP-AH=t-(t-4)=4,
∴S=S正方形APEF正方形APEF-S△PHG△PHG=t22-
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④当6<t≤8时,如图5.
∵QB=t,
∴AQ=AB-QB=12-t,
∴AN=NQ-AQ=8-(12-t)=t-4=AH,
∴PH=AP-AH=t-(t-4)=4=PG,
∴S=S矩形APKQ-S△PHG=t(12-t)-
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当4≤t≤8时△PGH扫过的平面部分为梯形ADRL,如图6.
∵RL=4(与t=4中图形的DP相等),AD=8,DR=4,
∴S梯形ADRL=
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故此时段△PGH扫过平面部分的面积为24.
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④当6<t≤8时,如图5.
∵QB=t,
∴AQ=AB-QB=12-t,
∴AN=NQ-AQ=8-(12-t)=t-4=AH,
∴PH=AP-AH=t-(t-4)=4=PG,
∴S=S矩形APKQ矩形APKQ-S△PHG△PHG=t(12-t)-
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当4≤t≤8时△PGH扫过的平面部分为梯形ADRL,如图6.
∵RL=4(与t=4中图形的DP相等),AD=8,DR=4,
∴S梯形ADRL=
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故此时段△PGH扫过平面部分的面积为24.
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a5c27d1ed21b0ef4acc2b7ecdec451da81cb3e5d.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/dcc451da81cb39db0bea48e4d3160924ab18305d.jpg)
当4≤t≤8时△PGH扫过的平面部分为梯形ADRL,如图6.
∵RL=4(与t=4中图形的DP相等),AD=8,DR=4,
∴S梯形ADRL梯形ADRL=
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故此时段△PGH扫过平面部分的面积为24.
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故此时段△PGH扫过平面部分的面积为24.
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故此时段△PGH扫过平面部分的面积为24.
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