求旋轮线x=a（t-sint），y=a（1-cost）（a＞0，0≤t≤2π）的长度与旋轮线绕X轴旋转一周后所围的旋转体体积．

Question

求旋轮线x=a（t-sint），y=a（1-cost）（a＞0，0≤t≤2π）的长度与旋轮线绕X轴旋转一周后所围的旋转体体积．

Answer 1

旋轮线长度：
∵

x＝a(t−sint)

y＝a(1−cost)

（0≤t＜2π）
∴ds＝√(x′2(t)+y2(t))dt=a√(sin2t+(1−cost)2)dt＝a√(2(1−cost))dt=2asin(t)/(2)   (0≤t≤2π)
∴旋轮线的长度L＝

∫

2π 0

√(x′2(t)+y2(t))dt＝

∫

2π 0

2asin(t)/(2)dt=−4acos(t)/(2)

|

2π 0

＝8a
体积：
首先取体积微元，在x=a（t-sint）处，x变化量为dx，形成的圆环面积为：
dS=2πxdx，
圆环所在柱面体积：dV=ydS=2πxydx
又dx=d[a（t-sint）]=a（1-cost）dt
将x，y参数方程代入得：
dV=2π[a（t-sint）][a（1-cost）][a（1-cost）dt]=2πa³（t-sint）（1-cost）²dt
∴V＝

∫

2π 0

2πa3(t−sint)(1−cost)2dt
作变换u=t-π，则 t=u+π，dt=du，
原积分变为：
V＝

∫

π −π

2πa3[(u+π)−sin(u+π)]•[1−cos(u+π)]2du 
=2πa3

∫

π −π

[π+（u+sinu）]（1+cosu）²du
=2π2a3

∫

π −π

(1+cosu)2du+

2πa3∫

π −π

(u+sinu)(1+cosu)2du
上式积分的第二部分被积函数 （u+sinu）（1+cosu）²为奇函数，因此在[-π，π]上，积分为0
∴V＝2π2a3

∫

π −π

(1+cosu)2du=2π2a3

∫

π −π

(1+2cosu+cos2u)du
=4π2a3+4π2a3

∫

π −π

cosudu+π2a3

∫

π −π

(1+cos2u)du
=4π2a3−4π2a3sinu

|

π −π

+2π2a3−(1)/(2)π2a3sin2u

|

π −π

=6π²a³