已知：如图，四边形ABCD中，BC＞AB，BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，求证：AD=CD．

Question

已知：如图，四边形ABCD中，BC＞AB，BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，
求证：AD=CD．

Answer 1

证明：在边BC上截取BE=BA，连接DE，                       
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△EBD中，

BA＝BE

∠ABD＝∠EBD

BD＝BD

，
∴△ABD≌△EBD  （SAS），
∴AD=ED，∠A=∠BED，
∵∠A+∠C=180°，∠BED+∠CED=180°，
∴∠C=∠CED，
∴CD=ED，
∴AD=CD．

BA＝BE

∠ABD＝∠EBD

BD＝BD

BA＝BE

∠ABD＝∠EBD

BD＝BD

BA＝BE

∠ABD＝∠EBD

BD＝BD

BA＝BE

∠ABD＝∠EBD

BD＝BD

BA＝BEBA＝BEBA＝BE∠ABD＝∠EBD∠ABD＝∠EBD∠ABD＝∠EBDBD＝BDBD＝BDBD＝BD，
∴△ABD≌△EBD  （SAS），
∴AD=ED，∠A=∠BED，
∵∠A+∠C=180°，∠BED+∠CED=180°，
∴∠C=∠CED，
∴CD=ED，
∴AD=CD．