已知等腰Rt△ABC，AC=BC=2，D为射线CB上一动点，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交直线AC于点E．（1）如图1，当点O在斜边AB上时，求⊙O的半径；（2）如图2，点D在线段BC上，使四边形AODE为菱形时

Question

已知等腰Rt△ABC，AC=BC=2，D为射线CB上一动点，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交直线AC于点E．
（1）如图1，当点O在斜边AB上时，求⊙O的半径；
（2）如图2，点D在线段BC上，使四边形AODE为菱形时，求CD的长．

Answer 1

（1）连接OD，
∵⊙O切BC于D，
∴∠ODB=90°，
设圆O的半径长为a，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=2，
∴OD∥AC，AB=√(22+22)=2√(2)，∠B=∠CAB=45°
∴OB=2√(2)-a，∠DOB=∠B=45°
∴2a²=（2√2-a）²
 解得：a₁=4-2√(2)，a₂=-2√(2)-4，
∵a＞0，
∴a=4-2√(2)
即⊙O半径长为4-2√(2)．

（2）连EO，
∵四边形OAED为菱形，
∴AE=AO，
∵AO=EO，
∴△AEO为等边三角形，
∴∠AEO=60°
同理△EOD是等边三角形，
∴∠OED=∠ODE=60°，
∵∠ODC=90°，
∴∠EDC=30°，
∵∠C=90°，
∴ED=2EC，
∵ED=4-2√(2)，
∴CE=2-√(2)，
∴CD=√(3)CE=2√(3)-√(6)．