如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=，过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C、D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A、B，连接

Question

如图，⊙O ₁ 、⊙O ₂ 相交于P、Q两点，其中⊙O ₁ 的半径r ₁ =2，⊙O ₂ 的半径r ₂ = ，过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O ₁ 和⊙O ₂ 于点C、D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O ₁ 和⊙O ₂ 于点A、B，连接AP、BP、AC、DB，且AC与DB的延长线交于点E。
（1）求证： ；
（2）若PQ=2，试求∠E度数。

Answer 1

（1）证明：∵⊙O ₁ 的半径r ₁ =2，⊙O ₂ 的半径r ₂ = ，
∴PC=4，PD=2 ，
∵CD⊥PQ，
∴∠PQC=∠PQD=90°，
∴PC、PD分别是⊙O ₁ 、⊙O ₂ 的直径，
在⊙O ₁ 中，∠PAB=∠PCD，
在⊙O ₂ 中，∠PBA=∠PDC，
∴△PAB∽△PCD，
∴ = = = ，
即 = ；
（2）在Rt△PCQ中，∵PC=2r ₁ =4，PQ=2，
∴cos∠CPQ= ，
∴∠CPQ=60°，
∵在Rt△PDQ中，PD=2r ₂ =2 ，PQ=2，
∴sin∠PDQ= ，
∴∠PDQ=45°，
∴∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，
又∵PD是⊙O ₂ 的直径，
∴∠PBD=90°，
∴∠ABE=90°-∠PBQ=45°
在△EAB中，
∴∠E=180°-∠CAQ﹣∠ABE=75°，
答：∠E的度数是75°。