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如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差,那么称这个自然数为智慧数,例如:16=52-32,16就是一个智慧数,小明和小王对自然数中的智慧数迸行了如下的探索:小明的方法是一个一个找

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如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差,那么称这个自然数为智慧数,例如:16=52-32,16就是一个智慧数,小明和小王对自然数中的智慧数迸行了如下的探索:
小明的方法是一个一个找出来的:
0=02-02,1=12-02,3=22-12
4=22-02,5=32-22,7=42-32
8=32-12,9=52-42,11=62-52,…
小王认为小明的方法太麻烦,他想到:
设k是自然数,由于(k+1)2-k2=(k+1+k)(k+1-k)=2k+1.
所以,自然中所有奇数都是智慧数.
问题:(1)根据上述方法,自然数中第12个智慧数是___.
(2)他们发现0,4,8是智慧数,由此猜测4k(k≥3且k为正整数)都是智慧数,请你参考小王的办法证明4k(k≥3且k为正整数)都是智慧数.
(3)他们还发现2,6,10都不是智慧数,由此猜测4k+2(k为自然数)都不是智慧数,请利用所学的知识判断26是否是智慧数,并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1) 继续小明的方法,12=42-22,13=72-62,15=82-72
即第12个智慧数是15.
故答案为:15.
(2)证明:设k是自然数,由于(k+2)2-k2=(k+2+k)(k+2-k)=4k+4=4(k+1).
所以,4k(k≥3且k为正整数)都是智慧数.
(3) 令4k+2=26,解得:k=6.
故26不是智慧数.
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