已知：asinx+bcosx=0①，Asin2x+Bcos2x=C②，其中a，b不同时为0，求证：2abA+（b2-a2）B+（a2+b2）C=0

Question

已知：asinx+bcosx=0  ①，Asin2x+Bcos2x=C   ②，其中a，b不同时为0，求证：2abA+（b²-a2）B+（a²+b²）C=0

Answer 1

证明：设siny＝−(b)/(√(a2+b2))，cosy＝(a)/(√(a2+b2))
则①可写成cosysinx-sinycosx=0，
∴sin（x-y）=0∴x-y=kπ（k为整数），
∴x=y+kπ
又sin2x=sin2（y+kπ）=sin2y=2sinycosy=−(2ab)/(a2+b2)
cos2x=cos2y=cos²y-sin²y=(a2−b2)/(a2+b2)代入②，
得−(2abA)/(a2+b2)+((a2−b2)B)/(a2+b2)＝C，
∴2abA+（b²-a²）B+（a²+b²）C=0．