如图，O中AB的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．

Question

如图， O中

AB

的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．

（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；
（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．

Answer 1

（1） 连接PB，BC，
设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，
∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，
由 O中

AB

的中点为P，可得∠4=∠5，
在△EBC中，∠1=∠2+∠3，
又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，
即有∠2=∠4，则∠D=∠1，
则四点E，C，D，F共圆，
可得∠EFD+∠PCD=180°，
由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，
即有3∠PCD=180°，
可得∠PCD=60°；
（2）证明：由C，D，E，F共圆，
由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G
可得G为圆心，即有GC=GD，
则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，
则OG⊥CD．