在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE=30°，BE=DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．（1）当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE=PD+

Question

在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE=30°，BE=DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ ∥ BD交直线BE于点Q．
（1）当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE=PD+ (3)/(3) PQ；
（2）若BC=6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（3）在②的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G（如图2），求线段PG的长．

Answer 1

（1）证明：∵∠A=90°∠ABE=30°，
∴∠AEB=60°．
∵EB=ED，
∴∠EBD=∠EDB=30°．
∵PQ ∥ BD，
∴∠EQP=∠EBD．
∠EPQ=∠EDB．
∴∠EPQ=∠EQP=30°，
∴EQ=EP．
过点E作EM⊥QP垂足为M．则PQ=2PM．
∵∠EPM=30°，∴PM= (3)/(2) PE，PE= (3)/(3) PQ．
∵BE=DE=PD+PE，
∴BE=PD+ (3)/(3) PQ．

（2）由题意知AE= (1)/(2) BE，
∴DE=BE=2AE．
∵AD=BC=6，
∴2AE=DE=BE=4．
当点P在线段ED上时（如图1），
过点Q做QH⊥AD于点H，则QH= (1)/(2) PQ= (1)/(2) x．
由（1）得PD=BE- (3)/(3) x，PD=4- (3)/(3) x．
∴y= (1)/(2) PD•QH= -(3)/(12) x 2 +x ．
当点P在线段ED的延长线上时（如图2），
过点Q作QH′⊥DA交DA延长线于点H′，
∴QH′= (1)/(2) x．
过点E作EM′⊥PQ于点M′，同理可得EP=EQ= (3)/(3) PQ，
∴BE= (3)/(3) PQ-PD，
∴PD= (3)/(3) x-4，
∴y= (1)/(2) PD•QH′= (3)/(12) x 2 -x ．

（3）连接PC交BD于点N（如图3）．
∵点P是线段ED中点，
∴EP=PD=2，PQ= 2

3

．
∵DC=AB=AE•tan60°= 2

3

，
∴PC=

P D 2 +D C 2

=4．
∴cos∠DPC= (PD)/(PC) = (1)/(2) ．
∴∠DPC=60°．
∴∠QPC=180°-∠EPQ-∠DPC=90°．
∵PQ ∥ BD，
∴∠PND=∠QPC=90°．
∴PN= (1)/(2) PD=1．
QC=

P Q 2 +P C 2

= 2

7

．
∵∠PGN=90°-∠FPC，∠PCF=90°-∠FPC，
∴∠PGN=∠PCF．
∵∠PNG=∠QPC=90°，
∴△PNG ∽ △QPC，
∴ (PG)/(QC) =(PN)/(PQ) ，
∴PG= (1)/(23) ×2

7

= (21)/(3) ．