已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=t（Sn-an+1）（t为常数，且t≠0，t≠1）．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn=an2+Sn-an，若数列{bn}为等比数列，求t的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设cn=4an+

Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=t（S_n-a_n+1）（t为常数，且t≠0，t≠1）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n²+S_n-a_n，若数列{b_n}为等比数列，求t的值；
（3）在满足条件（2）的情形下，设c_n=4a_n+1，数列{c_n}的前n项和为T_n，若不等式(12k)/(4+n−Tn)≥2n-7对任意的n∈N^*恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）当n=1时，S₁=t（S₁-a₁+1），得a₁=1．
当n≥2时，由S_n=t（S_n-a_n+1），
即（1-t）S_n=-ta_n+t，①
得，（1-t）S_n-1=-ta_n-1+t，②
①-②，得（1-t）a_n=-ta_n+ta_n-1，
即a_n=ta_n-1，
∴(an)/(an−1)＝t(n≥2)，
∴{a_n}是等比数列，且公比是t，
∴an＝tn．
（2）由（1）知，bn＝(tn)2+(t(1−tn))/(1−t)•tn，
即bn＝(t2n+tn+1−2t2n+1)/(1−t)，
若数列{b_n}为等比数列，
则有

b

2 2

＝b1•b3，
而b1＝2t2，

b

2

＝t3(2t+1)，b3＝t4(2t2+t+1)，
故[a³（2t+1）]²=（2a²）•a⁴（2t²+t+1），
解得t＝(1)/(2)，
再将t＝(1)/(2)代入b_n，得bn＝((1)/(2))n，
由(bn+1)/(bn)＝(1)/(2)，知{b_n}为等比数列，
∴t=(1)/(2)．
（3）由t＝(1)/(2)，知an＝((1)/(2))n，
∴cn＝4((1)/(2))n+1，
∴Tn＝4×

(1)/(2)(1−(1)/(2作业帮用户2017-10-30问题解析（1）当n=1时，S1=t（S1-a1+1），得a1=1．当n≥2时，由（1-t）Sn=-tan+t，得，（1-t）Sn-1=-tan-1+t．故an=tan-1，由此能求出{an}的通项公式．（2）由bn＝(tn)2+(t(1−tn))/(1−t)•tn，得数列{bn}为等比数列，b1＝2t2，b2＝t3(2t+1)，b3＝t4(2t2+t+1)，由此能求出t的值．（3）由t=(1)/(2)，得cn＝4((1)/(2))n+1，所以Tn＝4×((1)/(2)(1−(1)/(2n)))/(1−(1)/(2))+n＝4+n−(4)/(2n)，由不等式(12k)/(4+n−Tn)≥2n−7恒成立，得3k≥(2n−7)/(2n)恒成立，由此能求出实数k的取值范围．名师点评本题考点：数列与不等式的综合；等比数列的性质；数列递推式．考点点评：本题考查数列与不等式的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．扫描下载二维码©2018 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)