某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下．现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h，经测试，减

Question

某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下．现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h，经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k=6.0×10⁶）．问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？
（注：kg表示千克，km/h表示千米/小时）

Answer 1

由题设，飞机的质量m=9000kg，着陆时的水平速度v₀=700km/h=(700)/(3.6)m/s．从飞机接触跑道开始记时，设t时刻飞机的滑行距离为x（t），速度为v（t）．
则飞机受到阻力

f

＝−k

v

，在阻力作用下，飞机以初始速度v₀减速运动，最后静止．
方法一：
根据牛顿第二定律，得m(dv)/(dt)＝−kv．
又   (dv)/(dt)＝(dv)/(dx)•(dx)/(dt)＝v(dv)/(dx)，
由以上两式得dx＝−(m)/(k)dv，
积分得 x(t)＝−(m)/(k)v+C，C为任意常数．
由于v（0）=v₀，x（0）=0，故得C＝(m)/(k)v0，从而x(t)＝(m)/(k)(v0−v(t))．
当v（t）→0时，x(t)→(mv0)/(k)＝(9000×700)/(6.0×106×3.6)＝0.292(km)=292m．
所以，飞机滑行的最长距离为292m．
方法二：
根据牛顿第二定律，得 m(dv)/(dt)＝−kv，
所以    (dv)/(v)＝−(k)/(m)dt．
两端积分得通解v＝Ce−(k)/(m)t，代入初始条件v|_t=0=v₀解得C=v₀，
故   v(t)＝v0e−(k)/(m)t．
①因此，t→∞时飞机滑行才停止，即距离最大．
所以，飞机滑行的最长距离为x＝

∫

+∞ 0

v(t)dt＝−(mv0)/(k)e−(k)/(m)t|

+∞

0

＝(mv0)/(k)＝292(m)．
②或由(dx)/(dt)＝v0e−(k)/(m)t，知x(t)＝

∫

t 0

v0e−(k)/(m)tdt＝−(mv0)/(k)(e−(k)/(m)t−1)，故最长距离为当t→∞时，x(t)→(mv0)/(k)＝292(m)．
方法三：
根据牛顿第二定律，得 m(d2x)/(dt2)＝−k(dx)/(dt)，(d2x)/(dt2)+(k)/(m)(dx)/(dt)＝0，
其特征方程为 λ2+(k)/(m)λ＝0，解之得λ1＝0，λ2＝−(k)/(m)，
故   x＝C1+C2e−(k)/(m)t．
由 x| t＝0＝0，v| t＝0＝(dx)/(dt)|

 

t＝0

＝−(kC2)/(m)e−(k)/(m)t| t＝0＝v0，
得   C1＝−C2＝(mv0)/(k)，于是 x(t)＝(mv0)/(k)(1−e−(k)/(m)t)．
当t→+∞时，x(t)→(mv0)/(k)＝292(m)．
所以，飞机滑行的最长距离为292m．