高分求解,100分为底,确认答案无误加分.⒈已知直线X-Y-3=0与圆X2+Y2-2X=0（未知数后“2”为平方,以下同）相离,在圆上求一点,使它与直线的距离最短,并求这一点与直线的距离.⒉一圆经过点（2,1

Question

高分求解,100分为底,确认答案无误加分.
⒈已知直线X-Y-3=0与圆X2+Y2-2X=0（未知数后“2”为平方,以下同）相离,在圆上求一点,使它与直线的距离最短,并求这一点与直线的距离.
⒉一圆经过点（2,1）,且和直线X+Y-1=0相切,圆心在直线2X-Y=0上,求圆的方程.
⒊直线L经过点P（2,2+根号2）且与圆（X-1）2+（Y-1）2=1相切,求L的倾斜角
⒋动点P到到定点M和N的距离之比为2：1,且「MN」（MN的绝对值）=3,选择适当的坐标系,求出点P的轨迹方程.
⒌求证：对任意非零实数A,方程X2+Y2-2AX-4AY+9/2A2=0(X的平方+Y的平方-2AX-4AY+9/2A的平方）曲线都是一个元圆,且这些圆的圆心必须在同一直线上.

Answer 1

1、圆的标准方程是(x－1)²＋y²=1,圆心为C(1,0),过点C作直线x－y－3=0的垂线段CP,垂足为P,与已知圆的交点为Q,则|PQ|就是圆上的点到直线的最短距离,而直线PQ的方程是x＋y－1=0,解得P(2,－1),|PQ|=|PC|－R=|1－0－3|/(√2)－1=√2－1.直线x＋y－1=0与圆x²＋y²－2x=0联立方程组,有x²＋(x－1)²－2x=0,解得x=1±√2/2(取正舍负),则Q(1＋√2/2,－√2/2).
2、由于圆心在直线2x－y=0上,设圆心坐标为P(a,2a),则点P到点(2,1)的距离等于点P到直线x＋y－1=0的距离,则√[(a－2)²＋(2a－1)²]=|a＋2a－1|/√2,解得a²－10a＋9=0,a=1或a=9,从而圆心是(1,2)或(9,18),相应的半径是√2或√338,所以圆方程是(x－1)²＋(y－2)²=2或(x－9)²＋(y－18)²=338.
3、①若直线L斜率不存在,则此时直线方程是x=2,与已知圆相切,即倾斜角为90°；②若直线L的斜率存在,设其斜率为k,则L：y=k(x－2)＋2＋√2,则圆心(1,1)到L的距离等于半径1,即|k(1－2)＋2＋√2－1|/√[1＋k²]=1,得：k=－1.综合,有：切线的倾斜角为90°或135°.
4、以MN所在直线为x轴,以线段MN的垂直平分线为y轴,则M(－3/2,0)、N(3/2,0).设P(x,y),则√[(x＋3/2)²＋y²]：√[(x－3/2)²＋y²]=2：1,化简得点P的轨迹方程：x²＋y²－5x＋9/4=0.
5、x²＋y²－2Ax－4Ay＋(9/2)A²=0,配方得：(x－A)²＋(y－2A)²=(1/2)A².这个方程表示以(A,2A)为圆心、以√2/2|A|为半径的圆,其圆心坐标满足方程y=2x,即此圆的圆心在直线y=2x上.