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某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示:全市100000名男生的身高服从正态分布N(168,16).现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于160cm和18

题目详情
某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示:全市100 000名男生的身高服从正态分布N(168,16).现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间,将测量结果按如下方式分成6组:第一组[160,164],第二组[164,168],…,第6组[180,184],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(Ⅰ)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况;
(Ⅱ)求这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人数;
(Ⅲ)在这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人中任意抽取2人,该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为ξ,求ξ的数学期望.
参考数据:
若ξ-N(μ+▱2).则
P(μ-▱<ξ≤μ+▱)=0.6826,
P(μ-2▱<ξ≤μ+2▱))=0.9544,
P(μ-3▱<ξ≤μ+3▱)=0.9974.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)由直方图,经过计算该校高三年级男生平均身高为
(162×
5
100
+166×
7
100
+170×
8
100
+174×
2
100
+178×
2
100
+182×
1
100
)×4=168.72,
高于全市的平均值168(或者:经过计算该校高三年级男生平均身高为168.72,比较接近全市的平均值168).…(4分)
(Ⅱ)由频率分布直方图知,后三组频率为(0.02+0.02+0.01)×4=0.2,人数为0.2×50=10,即这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数为10人.…(6分)
(Ⅲ)∵P(168-3×4<ξ≤168+3×4)=0.9974,
∴P(ξ≥180)=
1−0.9974
2
=0.0013,0.0013×100 000=130.
所以,全市前130名的身高在180 cm以上,这50人中180 cm以上的有2人.
随机变量ξ可取0,1,2,于是
P(ξ=0)=
C
2
8
C
2
10
28
45
,P(ξ=1)=
C
1
8
C
1
2
C
2
10
16
45
,P(ξ=2)=
C
2
2
C
2
10
1
45

∴Eξ=0×
28
45
+1×
16
45
+2×
1
45
=
2
5
.…(12分)
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