已知，如图，△ABC是等边三角形，BD=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求证：C△AMN=23•C△ABC．（提示：先证：MN=BM+NC）

Question

已知，如图，△ABC是等边三角形，BD=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求证：C_△AMN=(2)/(3)•C_△ABC．（提示：先证：MN=BM+NC）

Answer 1

∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠DBC=30°，
∵△ABC是边长为3的等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，
∴∠DBA=∠DCA=90°，
延长AB至F，使BF=CN，连接DF，
在△BDF和△CND中，

BF=CN

∠FBD=∠DCN

DB=DC

，
∴△BDF≌△CND（SAS），
∴∠BDF=∠CDN，DF=DN，
∵∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠CDN=60°，
∴∠BDM+∠BDF=60°，
在△DMN和△DMF中，

DM=MD

∠FDM=∠MDN

DF=DN

，
∴△DMN≌△DMF（SAS）
∴MN=MF=MB+BF=MB+CN；
∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+CN+AN=AB+AC，
即C_△AMN=(2)/(3)•C_△ABC．