已知椭圆G：x26+y2b2=1(0<b<6)的两个焦点分别为F1和F2，短轴的两个端点分别为B1和B2，点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|P

Question

已知椭圆G： (x2)/(6)+ (y2)/(b2)=1(0<b< √(6))的两个焦点分别为F₁和F₂，短轴的两个端点分别为B₁和B₂，点P在椭圆G上，且满足|PB₁|+|PB₂|=|PF₁|+|PF₂|．当b变化时，给出下列三个命题：
①点P的轨迹关于y轴对称；
②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；
③|OP|的最小值为2，
其中，所有正确命题的序号是___．

Answer 1

椭圆G：(x2)/(6)+(y2)/(b2)=1(0<b<√(6))的两个焦点分别为
F₁（√(6-b2)，0）和F₂（-√(6-b2)，0），
短轴的两个端点分别为B₁（0，-b）和B₂（0，b），
设P（x，y），点P在椭圆G上，且满足|PB₁|+|PB₂|=|PF₁|+|PF₂|，
由椭圆定义可得，|PB₁|+|PB₂|=2a=2√(6)>2b，
即有P在椭圆(y2)/(6)+(x2)/(6-b2)=1上．
对于①，将x换为-x方程不变，则点P的轨迹关于y轴对称，
故①正确；
对于②，由图象可得轨迹关于x，y轴对称，且0<b<√(6)，
则椭圆G上满足条件的点P有4个，
不存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个，故②不正确；
对于③，由图象可得，当P满足x²=y²，即有6-b²=b²，即b=√(3)时，
|OP|取得最小值，可得x²=y²=2，即有|OP|的最小值为2，故③正确．
故答案为：①③．