方程(x^2-20x+38)^3=x^3-4x^2+84x-152

Question

方程(x^2-20x+38)^3=x^3-4x^2+84x-152

Answer 1

(x^2-20x+38)^3=x^3-4x^2+84x-152
(x^2-20x+38)^3 -x^3 = -4x^2+84x-152
(x^2-20x+38 -x)[(x^2-20x+38)^2 + (x^2-20x+38)*x + x^2] = -4(x^2 - 21x+38)
(x-2)(x-19)* [(x^2-20x+38)^2 + (x^2-20x+38)*x + x^2] = -4(x-2)(x-19)
显然 x =2 和 x=19 是方程的2个根
当 x≠2 和 x≠19时候,方程两端同时除以 (x-2)(x-19).方程化为
(x^2-20x+38)^2 + (x^2-20x+38)*x + x^2 = -4
设 x^2 -20x + 38 = a,设 x =b
上面这个方程化为 a^2 + ab + b^2 = -4
我们试图论证左端始终不为负,以推论出方程无解.
对于 Z = a^2 + ab + b^2
当 ab 同号时,Z = (a-b)^2 + 3ab ≥ 0
当 ab 异号时,Z = (a+b)^2 - ab ≥ 0
因此 a^2 + ab + b^2 恒不小于0.
而方程左端 = -4,小于0.所以 方程
(x^2-20x+38)^2 + (x^2-20x+38)*x + x^2 = -4
无解.
综上所述,方程的解为 x=2 和 x=19