正方形ABCD中，∠EAF=45°，连接对角线BD交AE于M，交AF于N，求证：以DN、BM、MN为三边的三角形为直角三角形．

Question

正方形ABCD中，∠EAF=45°，连接对角线BD交AE于M，交AF于N，求证：以DN、BM、MN为三边的三角形为直角三角形．

Answer 1

证明：延长CB到G，使BG=DF，连接AG，在AG截取AH=AN，连接MH、BH，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BDC=∠ABD=45°，∠BAD=∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°，
在△ABG和△ADF中，

AB=AD

∠ABG=∠ADF

BG=DF

，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG=∠DAF，∠AFD=∠G，AF=AG，
∴∠GAE=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，
在△AMN和△AMH中，

AN=AH

∠MAN=∠MAH=45°

AM=AM

，
∴△AMN≌△AMH（SAS），
∴MN=MH，
∵AF=AG，AN=AH，
∴FN=AF-AN=AG-AH=GH，
在△DFN和△BGH中，

DF=BG

∠NFD=∠G

FN=GH

，
∴△DFN≌△BGH（SAS），
∴∠GBH=∠NDF=45°，DN=BH，
∴∠MBH=∠ABH+∠ABD=∠ABG-∠GBH+∠ABD=90°-45°+45°=90°，
∴BM²+DN²=BM²+BH²=MH²=MN²，
∴DN、BM、MN为三边的三角形为直角三角形．