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已知:在△ABC中,AB=AC,AB⊥AC,D、E在BC上,且∠ADC=∠BAE.(1)求证:∠DAE=45°;(2)过B作BF⊥AD于F,交直线AE于M,连CM,判断BM与CM的位置关系,加以证明.
题目详情
已知:在△ABC中,AB=AC,AB⊥AC,D、E在BC上,且∠ADC=∠BAE.
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(1)求证:∠DAE=45°;
(2)过B作BF⊥AD于F,交直线AE于M,连CM,判断BM与CM的位置关系,加以证明.
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(1)求证:∠DAE=45°;
(2)过B作BF⊥AD于F,交直线AE于M,连CM,判断BM与CM的位置关系,加以证明.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)∵AB=AC,AB⊥AC,∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=45°.
∵∠ADC=∠B+∠BAD,∠BAE=∠DAE+∠BAD,
∴∠ADC=∠BAE,
∴∠DAE=∠B=45°;
(2)∵BM⊥AF,∴∠AFM=90°.
∵∠FAM=∠DAE=45°,∴∠AMF=45°=∠ACB,
∴A,C,M,B四点共圆,
∴∠BAC+∠BMC=180°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BMC=90°,即BM⊥CM.
∴∠B=∠C=45°.
∵∠ADC=∠B+∠BAD,∠BAE=∠DAE+∠BAD,
∴∠ADC=∠BAE,
∴∠DAE=∠B=45°;
(2)∵BM⊥AF,∴∠AFM=90°.
∵∠FAM=∠DAE=45°,∴∠AMF=45°=∠ACB,
∴A,C,M,B四点共圆,
∴∠BAC+∠BMC=180°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BMC=90°,即BM⊥CM.
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