如图，在△ABC中∠ABC=45°，CD⊥BA，BE⊥AC，F为BC中点，∠ABE=∠CBE（1）线段BH与线段AC相等吗？若相等给予证明，若不相等，请说明理由．（2）若AC=12，BC=10，求BG的长．

Question

如图，在△ABC中∠ABC=45°，CD⊥BA，BE⊥AC，F为BC中点，∠ABE=∠CBE

（1）线段BH与线段AC相等吗？若相等给予证明，若不相等，请说明理由．
（2）若AC=12，BC=10，求BG的长．

Answer 1

（1）线段BH与线段AC相等．
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC，
∴DB=DC，
∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，
∴∠HBD=∠ACD，
∵在△DBH和△DCA中，

∠BDH=∠CDA

BD=CD

∠HBD=∠ACD

，
∴△DBH≌△DCA（ASA），
∴BH=AC；

（2）如图，连接CG，
由（1）知，DB=CD，
∵F为BC的中点，
∴DF垂直平分BC，
∴BG=CG，
∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，
∴△ABE≌△CBE，
∴EC=EA=6，
∵Rt△BCE中，BC=10，CE=6，
∴BE=8，
设BG=CG=x，则GE=8-x，
∴Rt△CEH中，6²+（8-x）²=x²，
∴x=(25)/(4)，
∴BG=(25)/(4)．