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如图,△ABC是等腰直角三角形,且∠ACB=90°,以C为顶点的45°的角在△ABC形内旋转,角的两边交AB于点E、F,求证:EF2=AE2+BF2.
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如图,△ABC是等腰直角三角形,且∠ACB=90°,以C为顶点的45°的角在△ABC形内旋转,角的两边交AB于点E、F,求证:EF2=AE2+BF2.
▼优质解答
答案和解析
证明:把△CBF绕点C顺时针旋转90°,得到△ACP.连接EP.
则△CBF≌△CAP.
∴BF=AP,CF=CP,∠CBF=∠CAP=45°.
∵∠ACB=90°,∠PCF=90°.
∴∠PCE=∠ECF=45°,
在△PCE和△FCE中,
,
∴△PCE≌△FCE(SAS).
∴EF=EP,
又∵∠PAE=45°+45°=90°,
∴AE2+AP2=EP2,
∴EF2=AE2+BF2.
则△CBF≌△CAP.
∴BF=AP,CF=CP,∠CBF=∠CAP=45°.
∵∠ACB=90°,∠PCF=90°.
∴∠PCE=∠ECF=45°,
在△PCE和△FCE中,
|
∴△PCE≌△FCE(SAS).
∴EF=EP,
又∵∠PAE=45°+45°=90°,
∴AE2+AP2=EP2,
∴EF2=AE2+BF2.
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