如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线．求证：（1）BQ=CQ；（2）BQ+AQ=AB+BP．

Question

如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线．求证：

（1）BQ=CQ；   
（2）BQ+AQ=AB+BP．

Answer 1

证明：（1）∵BQ是∠ABC的角平分线，
∴∠QBC=(1)/(2)∠ABC．
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，且∠BAC=60°，∠ACB=40°，
∴∠ABC=80°，
∴∠QBC=(1)/(2)×80°=40°，
∴∠QBC=∠C，
∴BQ=CQ；
（2）延长AB至M，使得BM=BP，连结MP．
∴∠M=∠BPM，
∵△ABC中∠BAC=60°，∠C=40°，
∴∠ABC=80°，
∵BQ平分∠ABC，
∴∠QBC=40°=∠C，
∴BQ=CQ，
∵∠ABC=∠M+∠BPM，
∴∠M=∠BPM=40°=∠C，
∵AP平分∠BAC，
∴∠MAP=∠CAP，
在△AMP和△ACP中，
∵

∠M＝∠C

∠MAP＝∠CAP

AP＝AP

∴△AMP≌△ACP，
∴AM=AC，
∵AM=AB+BM=AB+BP，AC=AQ+QC=AQ+BQ，
∴AB+BP=AQ+BQ．